7.2 Stationary Points - 驻点

知识点总结与练习题

核心知识点

1. 驻点定义与分类

核心概念 (Core Concept)：曲线 \(y=f(x)\) 上 \(f'(x)=0\) 的点称为驻点。通过左右梯度或二阶导判定性质。

  • 极大点：左正右负
  • 极小点：左负右正
  • 拐点：同号或不变号（需进一步判定）

2. 二阶导判别法

判别规则 (Discriminant Rules)：

  • \(f''(a)>0\)：局部极小
  • \(f''(a)<0\)：局部极大
  • \(f''(a)=0\)：未定，需左右值或高阶导判定

3. 典型思路模版

步骤 (Steps)：

  • 求导：\(f'(x)=0\) 解出候选驻点
  • 二阶导：\(f''(x)\)（或左右梯度测试）判定性质
  • 代回原式求对应 \(y\) 值，写出坐标
  • 必要时画草图标注功能点

关键词汇表

驻点Stationary Point
局部极大Local Maximum
局部极小Local Minimum
拐点Point of Inflection
一阶导First Derivative
二阶导Second Derivative
切线斜率Tangent Slope
最值Extrema

例题解析

Example 2: 求驻点坐标与性质

题目：a) 求曲线 \(y=x^{4}-32x\) 的驻点坐标；b) 比较两侧梯度判定性质

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：求导 \(\frac{dy}{dx}=4x^{3}-32=4(x-2)(x^{2}+2x+4)\) 得 \(x=2\)
  • 步骤2：代回 \(y=2^{4}-32\cdot2=16-64=-48\)，驻点 \((2,-48)\)
  • 步骤3：在 \(x=1\) 处导数 \(-28<0\)，\(x=3\) 处 \(76>0\)
  • 结论：左负右正，故为局部极小

Example 3: 二阶导判别

题目：a) 求 \(y=2x^{3}-15x^{2}+24x+6\) 的驻点；b) 用二阶导判定性质

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：\(\frac{dy}{dx}=6x^{2}-30x+24=6(x-1)(x-4)\) 得 \(x=1,4\)
  • 步骤2：\(x=1\): \(y=17\); \(x=4\): \(y=-10\)
  • 步骤3：\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=12x-30\)
  • 步骤4：\(x=1\) 时 \(-18<0\)（极大）；\(x=4\) 时 \(18>0\)（极小）

Question 1

求下列函数的最小值：

a) \(f(x)=x^{2}-12x+8\)

b) \(f(x)=x^{2}-8x-1\)

c) \(f(x)=5x^{2}+2x\)

答题区域：

Question 2

求下列函数的最大值：

a) \(f(x)=10-5x^{2}\)

b) \(f(x)=3+2x-x^{2}\)

c) \(f(x)=(6+x)(1-x)\)

答题区域：

Question 3

求梯度为零点的坐标并判定性质（选做部分）：

a) \(y=4x^{2}+6x\)

b) \(y=x^{4}-12x^{2}\)

c) \(y=x + \frac{1}{x}\)（\(x>0\)）

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) 驻点 \(x=6\)，\(f(6)=-28\)，极小值。

b) 驻点 \(x=4\)，\(f(4)=-9\)，极小值。

c) 驻点 \(x=-\frac{1}{5}\)，\(f(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{5}\)，极小值。

答案：a) -28；b) -9；c) -\frac{1}{5}
Question 2 解析

a) 顶点 \(x=0\)，\(f(0)=10\)，极大值。

b) 顶点 \(x=1\)，\(f(1)=4\)，极大值。

c) 展开后顶点 \(x=\frac{5}{2}\)，\(f(\frac{5}{2})=\frac{49}{4}\)，极大值。

答案：a) 10；b) 4；c) \frac{49}{4}
Question 3 解析（示例）

b) \(y'=4x^{3}-24x=4x(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})\) 得 \(x=0,\pm\sqrt{6}\)

\(y''=12x^{2}-24\)，\(x=0\) 时 \(-24<0\)（极大）；\(x=\pm\sqrt{6}\) 时 \(24>0\)（极小）

答案：(0,0) 极大；(\sqrt{6},-72) 极小；(-\sqrt{6},-72) 极小